Termomechanika materiału liniowo-sprężystego
Abstrakcyjny model jednorodnego materiału pokazuje różnicę między swobodnym rozszerzeniem a naprężeniem po skrępowaniu. Nie przewiduje pęknięć ani odspojeń.
Dane wejściowe
Wyniki
| Zmiana temperatury | 26.85 K |
|---|---|
| Swobodne odkształcenie cieplne | 0.0027 – |
| Naprężenie przy częściowym skrępowaniu | 12204.5455 Pa |
| Stosunek dopuszczalne / obliczone | 81.9367 – |
To jednorodny model liniowo-sprężysty; nie przewiduje pęknięcia, odspojenia ani lepkosprężystości.
Równania i granice
ΔT=T−Tref; εT=αΔT; εx=εy=(1−fk)εT; σreakcji=fk EεT/(1−ν)
Jednorodny, izotropowy materiał w cienkim, równomiernie ogrzanym elemencie: płaski stan naprężenia σz=0, jednakowe odkształcenie i naprężenie w kierunkach x i y oraz brak ścinania. σreakcji używa konwencji „ściskanie dodatnie”: ogrzewanie przy fk>0 daje dodatnią reakcję ściskającą, chłodzenie ujemną reakcję rozciągającą. Własności są stałe; model nie opisuje relaksacji, pełzania ani innej lepkosprężystości.
Interpretacja wyniku: Rachunek jest bezpośrednim obliczeniem podanych równań. Nie oznacza to dokładnego odwzorowania obiektu rzeczywistego: trafność fizyczna pozostaje ograniczona przez jawne założenia modelu.
Podstawa konkretnego równania
B.A. Boley, J.H. Weiner, Theory of Thermal Stresses, Wiley 1960 (Dover reprint 1997) — podstawy liniowej izotropowej termosprężystości. S.P. Walker, J.E. Warren, Thermostructural Evaluation of Joggle Region on the Shuttle Orbiter’s Wing Leading Edge, NASA/TM–2012-217571 — jawna relacja konstytutywna dla cienkiego elementu przy σz=0, σx=σy i pomijalnym ścinaniu. Parametr fk jest lokalnym uproszczeniem kalkulatora, a nie korelacją zaczerpniętą z tych źródeł. Powiązanie z tym kalkulatorem: ΔT=T−Tref; εT=αΔT; εx=εy=(1−fk)εT; σreakcji=fk EεT/(1−ν).
Przypadek mechaniczny i wyprowadzenie
Wartość naprężenia nie jest uniwersalnym skutkiem samej zmiany temperatury. Wynika z przyjętego, równomiernego skrępowania cienkiego elementu w dwóch kierunkach jego płaszczyzny.
Oznaczenia
| Symbol | Znaczenie | Jednostka |
|---|---|---|
| T, Tref, ΔT | temperatura aktualna, temperatura stanu bez naprężeń i ich różnica | K |
| α | liniowy współczynnik rozszerzalności cieplnej | 1/K |
| E, ν | moduł Younga i współczynnik Poissona | Pa; – |
| fk | umowny udział zablokowanego swobodnego odkształcenia; 0 oznacza brak skrępowania, 1 pełne skrępowanie dwuosiowe | – |
| σreakcji | reakcja naprężeniowa w obu kierunkach płaszczyzny, ze ściskaniem dodatnim | Pa |
1. Swobodne odkształcenie cieplne
ΔT=T−Tref
εT=αΔT
Gdy fk=0, element przyjmuje εx=εy=εT i nie powstaje reakcja naprężeniowa.
Charakter zależności: Liniowa izotropowa rozszerzalność cieplna.
2. Równanie konstytutywne płaskiego stanu naprężenia
εx=(σx−νσy)/E+αΔT
εy=(σy−νσx)/E+αΔT
σz=0; σx=σy
Dla jednakowej reakcji dwuosiowej relacja redukuje się do ε=(1−ν)σ/E+αΔT, gdzie σ ma klasyczny znak: rozciąganie dodatnie.
Charakter zależności: Prawo Hooke’a liniowej izotropowej termosprężystości oraz warunek płaskiego stanu naprężenia.
3. Częściowe skrępowanie
εx=εy=(1−fk)αΔT
σx=σy=−fk EαΔT/(1−ν)
σreakcji=−σx=fk EαΔT/(1−ν)
fk liniowo interpoluje między odkształceniem swobodnym i pełnym skrępowaniem. Wynik kalkulatora jest reakcją ze ściskaniem dodatnim, stąd znak przeciwny do konwencji tensora naprężeń.
Charakter zależności: Równania konstytutywne są fizyczne; liniowa parametryzacja fk jest jawnym uproszczeniem tego kalkulatora.
Stałe, gałęzie i ograniczenia
- Pełne skrępowanie jednoosiowego pręta prowadziłoby do |σ|=E|αΔT|, bez mianownika 1−ν; ten kalkulator nie opisuje takiego przypadku.
- Pełne skrępowanie trójosiowe prowadzi do innej relacji z 1−2ν; nie jest tu modelowane.
- Nie są rozwiązywane równowaga konstrukcji, geometria podpór, gradient temperatury, naprężenia resztkowe ani zależność E, ν i α od temperatury.
- Stosunek dopuszczalne/obliczone używa wartości bezwzględnej reakcji i nie zastępuje kryterium zniszczenia.
Odtwarzalny przypadek dla danych domyślnych
Statyczny punkt regresyjny. Wartości wejściowe, oczekiwane wyniki i tolerancje są publikowane, aby zmianę modelu można było wykryć i niezależnie odtworzyć.
Dane wejściowe
| Parametr | Wartość |
|---|---|
| Temperatura | 320 K |
| Temperatura odniesienia | 293.15 K |
| Rozszerzalność | 0.0001 1/K |
| Moduł Younga | 5000000 Pa |
| Współczynnik Poissona | 0.45 – |
| Stopień skrępowania | 0.5 – |
| Naprężenie porównawcze | 1000000 Pa |
Oczekiwane wyniki i tolerancje
| Wynik | Wartość oczekiwana | Tolerancja bezwzględna |
|---|---|---|
| Zmiana temperatury | 26.85 K | 2.685e-8 K |
| Swobodne odkształcenie cieplne | 0.002685 – | 2.685e-12 – |
| Naprężenie przy częściowym skrępowaniu | 12204.5454545455 Pa | 1.22045454545455e-5 Pa |
| Stosunek dopuszczalne / obliczone | 81.9366852886405 – | 8.19366852886405e-8 – |